调和级数的渐进表示

 

令 $H_n$ 为第 n 项调和数

\[H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}\]

证明 $H_n$ 是 $O(\log n)$ 的

证明 如下图所示:

img

$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}$可以看作图中蓝色阴影的面积; 而橙色部分的面积则可以看作函数 $y=\frac{1}{x}$ 的积分 $\int_{0}^{n}\frac{1}{x}\mathrm{d}x$. 因此有

\[\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{i}\lt \int_{0}^{n}\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln n\] \[\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}\lt \ln n + 1 = O(\log n)\]

证毕.